Receta para crear el conjunto de Mandelbrot

Advertencia: Si usted ha llegado aquí buscando la receta para el bizcocho de almendras Mandelbrot, está a tiempo de retroceder, o bien acuda al sitio

http://www.publiboda.com/cm/pbreceta/11654/MANDELBROT_(BIZCOCHOS_DE_ALMENDRAS).html

Si no es así, puede seguir adelante.

La imagen gráfica del conjunto de Mandelbrot se sigue de iterar (aplicar repetidamente sustituyendo cada vez z_n por el resultado z_{n+1}) la ecuación del campo de los números complejos
en la cual, como se ha dicho, tanto z como c son números complejos.

Inicialmente se deben elegir los siguientes parámetros:

1) Las dimensiones del marco del gráfico: -X y +X para las abcisas y-Y y +Y para las ordenadas. Si se trata de obtener el conjunto completo, estos valores deben estar entre los límites (-0,5 ; 1,5) para las x, y (-1 ; +1) para las y. La iteración se llevará a cabo para todo punto del interior de dicho rectángulo, punto cuyas coordenadas suministra las componentes real e imaginaria de c.

2) El límite superior para el número de iteraciones. Conviene que sea suficientemente elevado (256 es un orden suficiente para obtener un buen grado de detalle). Llamaremos MaxIter a este número.

3) Se debe disponer de una tabla de colores que relacione números de iteraciones por debajo del límite superior, separados por intervalos determinados, con un color disponible que dependerá de las posibilidades gráficas de la pantalla del computador en el que va a generarse la figura.

Para cada punto c se repetirá el algoritmo siguiente:

a) Se parte del valor inicial z = 0 (0 + i 0), donde i es la unidad imaginaria.

b) Se procede a iterar la ecuación presentada al principio, calculando en cada caso el módulo de z, es decir |z|.

c) Si ocurre que se alcanza el límite máximo de iteraciones, es decir si Nit >= MaxIter, (donde Nit es el número de iteraciones realizadas) sin que se tenga |z|>2, el punto c se asigna al conjunto de Mandelbrot (para este valor de Maxit), y se le aplica el color negro.

¿Por qué 2 como límite para los valores del módulo de z? Pues porque se demuestra que a partir de ese valor la secuencia de valores de z diverge rápidamente en todos los casos.

d) En otro caso, si se verifica |z|>2 para un valor de Nit < MaxIter, este punto no pertenece al conjunto de Mandelbrot, y se le aplica el color que le corresponda según la tabla iteraciones-color.

Se comprende que hasta el advenimiento de los computadores y de las pantallas con posibilidad de representación gráfica a color, las figuras fractales no pasaran de ser un concepto matemático (Julia) de tipo algebraico y geométrico (la dimensión fractal).

Si, una vez obtenida la representación gráfica del conjunto de Mandelbrot, se desea producir la correspondiente a una zona parcial, cambiando la escala naturalmente (para que ocupe toda la superficie disponible de la pantalla, por ejemplo), lo único que hay que hacer es elegir las nuevas coordenadas de la zona que se quiere representar (nuevos -X, + X, -Y, +Y). Los puntos c se elegirán pertenecientes a esta nueva área. Por lo demás, el algoritmo es el mismo, y tampoco hay razón para cambiar la tabla de colores.

La figura del inicio corresponde a los valores MaxIter = 256, X entre los límites -2,0 y 1,0 e Y entre los límites -1,5 y 1,5. En ella se aprecia que se han señalado ya los límites para la siguiente figura fractal a generar: para X -0,5 y 0,0; para Y -1,0 y -0,5; el número de iteraciones se mantiene, y se obtiene la figura siguiente:


En esta figura se ha indicado asimismo la nueva zona a calcular y reescalar, para la cual -0,25 y -0,125 son los límites en el eje de las x, y -0,745 y -0,62 los del eje de las y, permaneciendo sin cambio el número máximo de iteraciones. El resultado es la figura inferior. En todas ellas pueden verse repeticiones aproximadas del propio conjunto de Mandelbrot, lo que revela la propiedad de autosemejanza a diversas escalas que caracteriza a los fractales.